Algebraic Discrete Morse Theory and Applications to Commutative Algebra

In dieser Doktorarbeit verallgemeinern wir die Diskrete Morse Theorie von Forman auf eine algebraische Version, die wir Algebraische Diskrete Morse- Theorie nennen. Ziel der Theorie ist es zu einem gegebenem algebraischem Kettenkomplex freier R-Moduln einen Homotopie-äquivalenten Kettenkomplex...

Ausführliche Beschreibung

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Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser: Jöllenbeck, Michael
Beteiligte: Welker, Volkmar (Prof. Dr.) (BetreuerIn (Doktorarbeit))
Format: Dissertation
Sprache:Englisch
Veröffentlicht: Philipps-Universität Marburg 2005
Reine und Angewandte Mathematik
Schlagworte:
Online Zugang:PDF-Volltext
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Beschreibung
Zusammenfassung:In dieser Doktorarbeit verallgemeinern wir die Diskrete Morse Theorie von Forman auf eine algebraische Version, die wir Algebraische Diskrete Morse- Theorie nennen. Ziel der Theorie ist es zu einem gegebenem algebraischem Kettenkomplex freier R-Moduln einen Homotopie-äquivalenten Kettenkomplex zu konstruieren, dessen Ränge in den einzelnen homologischen Graden kleiner sind. Die Idee unserer Theorie ist es den Komplex als gerichteten Graphen zu interpretieren, und dann in diesem Graphen nach möglichst großen azyklischen Matchings zu suchen. Mit Hilfe dieser azyklischen Matchings wird ein sogenannter Morse-Graph konstruiert und wir beweisen, dass dessen zugehöriger Kettenkomplex dieselbe Homologie wie der Ausgangskomplex hat. Der Hauptteil der Arbeit besteht aus Anwendungen unserer Theorie in der Kommutativen Algebra. Wir verwenden unser Verfahren zur Konstruktion von minimalen multigraduierten freien Auflösungen verschiedener Moduln. In erster Linie beschäftigen wir uns mit der Konstruktion von minimalen freien Auflösungen des Restklassenkörpers über Quotientenringen aus dem (nicht notwendig kommutativen) Polynomring und einem beliebigen Ideal. Hier bekommen wir für verschiedene Klassen von Ringen neue minimale Auflösungen des Restklassenkörpers. Unter anderem können wir damit eine Vermutung von Sturmfels beweisen und ein Resultat von BACH zur Berechnung der Hochschild-Homologie deutlich verallgemeinern. Für den Fall, dass der Quotientenring aus einem kommutativen Polynomring und einem monomialen Ideal gebildet wird sind wir insbesondere an der Poincare-Betti Reihe interessiert. Bekannt ist, dass in diesem Fall die Poincare-Betti Reihe eine rationale Funktion ist. Eine konkrete Gestalt war jedoch bis jetzt nicht bekannt. Mit Hilfe der Algebraischen Diskreten Morse-Theorie konstruieren wir einen graduierten Vektorraum von dem wir vermuten, dass er als Vektorraum isomorph zur minimalen Auflösung des Körpers ist. Da wir die Hilbertreihe dieses Vektorraums ausrechnen können, bekommen wir eine explizite Gestalt der multigraduierten Poincare-Betti Reihe für solche Ringe. Unsere Form der Poincare-Betti Reihe präzisiert eine Vermutung von Charalambous und Reeves. Wir beweisen unsere Vermutung über die minimale Auflösung des Restklassenkörpers für verschiedene Klassen von monomialen Ringen. Da die Golod-Eigenschaft von monomialen Ringen durch eine spezielle Form der Poincare-Betti Reihe charakterisiert werden kann, bekommen wir mit unserer Gestalt der Poincare-Betti Reihe neue kombinatorische Kriterien für die Golod-Eigenschaft von monomialen Ringen, die nur von den Erzeugern des herausdividierten Ideals abhängen. Ein weiterer Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der Konstruktion minimaler Auflösungen von Borel bzw. p-Borel fixed Idealen. Über Auflösungen von p-Borel fixed Idealen war bislang sehr wenig bekannt. Wir beweisen die Existenz von zellulären minimalen Auflösungen für eine neue, relativ große, Klasse von p-Borel fixed Idealen und geben Formeln für deren Poincare-Betti Reihe sowie deren Regularität. Diese Formeln verallgemeinern bestehende Resultate. Zum Schluss werden zwei verwandte Probleme aus der algebraischen Kombinatorik diskutiert. Das erste Problem beschäftigt sich mit Homologien von nilpotenten Lie-Algebren und das zweite behandelte Problem ist die Neggers-Stanley Vermutung über die Unimodalität spezieller Polynome. Für beide Probleme präsentieren wir einige Resultate und Lösungsansätze für den allgemeinen Fall.