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Titel:On Turbulence Transition in Shear Flows
Autor:Pausch, Marina
Weitere Beteiligte: Eckhardt, Bruno (Prof. Dr.)
Erscheinungsjahr:2019
URI:http://archiv.ub.uni-marburg.de/diss/z2019/0266
DOI: https://doi.org/10.17192/z2019.0266
URN: urn:nbn:de:hebis:04-z2019-02667
DDC:530 Physik
Titel(trans.):Turbulenzübertragungen in Scherströmungen

Dokument

Schlagwörter:
Physics Shear flows Transition to turbulence Fluid mechanics Nonlinear dynamics, Physik Scherströmungen Turbulenzübergang Strömungsmechanik Nichtlineare Dynamik

Summary:
The onset of turbulence in shear flows like pipe flow or plane Couette flow, for which the laminar profile is linearly stable for all Reynolds numbers, has remained a puzzle for many years. Immense progress towards the understanding of the underlying physical mechanisms has been made by the application of ideas from dynamical systems theory. In particular, the search for exact solutions of the Navier-Stokes equations, like fixed points and periodic orbits, allowed a better grasp of the turbulent dynamics as these exact coherent structures are underlying the turbulent motion in state space. Direct numerical simulations (DNS) of the Navier-Stokes equations are challenging, even for simple geometries, as many spatial and temporal scales need to be resolved. Therefore, there exists a need to develop efficient, low-dimensional models to further explore the features of the transition to turbulence. The most elementary models consist of a vortex and a streak plus a nonlinearity. These are the basic ingredients for the transient amplification of perturbations and the self-sustaining process, which in turn cause the transition. We compare deterministic and noise-induced transitions for such a low-dimensional model and we find qualitatively different transition states for the different scenarios. A promising ansatz are quasilinear approximations, for which the nonlinearities of the Navier-Stokes equations are restricted to a small set which is sufficient to maintain turbulent dynamics. For this purpose, the velocity fields are decomposed into two groups of modes, and only certain couplings between the groups are kept. In particular, all self-interactions within the second group are neglected, except for the ones that map to the first group, thereby introducing a feedback from the second to the first group. We implement quasilinear approximations into DNS of plane Couette flow and analyze these models from a dynamical systems perspective, i.e. we investigate their underlying state space structure. For the streamwise quasilinear approximation, the first and the second group describe the flow field without and with variation in downstream direction, respectively. In the equations of the second group, the self-interactions between streamwise varying modes are neglected. A detailed comparison between the approximation and the full system is possible for the exact coherent structures in plane Couette flow. From the continuation of known fixed points of the full nonlinear system to the streamwise quasilinear system we observe qualitatively similar velocity fields and mean profiles. The bifurcation diagrams of the states and in particular the bifurcation points are captured well by the approximation. Furthermore, we were able to follow a bifurcation cascade starting at an exact coherent structure and leading to the formation of a local chaotic attractor, by analogy with the fully nonlinear system. An interesting property of the streamwise quasilinear model is that the energy spectra of the quasilinear states contain a few elements only. Even though the set of active modes is considerably reduced, many features of the full system can be found within the streamwise quasilinear approximation. With increasing Reynolds number, further modes can be activated by unstable eigenvectors and bifurcations. When the additional modes subsequently emerge, their amplitudes show intermittent behaviour. In a generalized quasilinear setting we can systematically interpolate between the quasilinear approximation and the fully nonlinear system by increasing the set of modes contained in the first group. This leads to a quantitative improvement of the results compared to the full system, but the reduction in the number of active modes is lost. The results show that the quasilinear approximation allows to systematically deduce from the Navier-Stokes equations simplified models that share the characteristics of the full system, and that should be useful for further analytical representations of the dynamics of transitional shear flows.

Zusammenfassung:
Der Übergang zur Turbulenz in linear stabilen Scherströmungen wie der Rohrströmung und der ebenen Couette Strömung ist seit vielen Jahren Gegenstand aktiver Forschung. Die Anwendung der Theorie dynamischer Systeme hat das Verständnis der zugrundeliegenden physikalischen Mechanismen enorm verbessert. Insbesondere die Suche nach exakten Lösungen der Navier-Stokes Gleichungen, wie Fixpunkten oder periodischen Orbits, liefert Einblicke in die turbulente Dynamik, da diese sogenannten exakten kohärenten Strukturen der turbulenten Bewegung im Zustandsraum zugrundeliegen. Direkte numerische Simulationen (DNS) der Navier-Stokes Gleichungen stellen selbst für einfache Geometrien eine Herausforderung dar, da viele zeitliche und räumliche Skalen aufgelöst werden müssen. Daher bedarf es der Entwicklung effizienter, niedrigdimensionaler Modelle zur weiteren Untersuchung des Turbulenzübergangs. Einfache, grundlegende Modelle bestehen aus einem Wirbel und einem Streak, sowie einer Nichtlinearität. Das sind die Basisbestandteile der transienten Verstärkung von Störungen und des sich selbst erhaltenden Prozesses, die wiederum den Übergang zur Turbulenz verursachen. Wir vergleichen deterministische und Rausch-induzierte Übergänge für ein solches niedrigdimensionales Modell und wir finden qualitativ verschiedene Übergangsszenarien. Ein vielversprechender Ansatz sind quasilineare Näherungen, für die die Nichtlinearität der Navier-Stokes Gleichungen auf einen kleinen Teil reduziert wird, der ausreichend ist, um die turbulente Dynamik aufrechtzuerhalten. Die Geschwindigkeitsfelder werden dazu in zwei Gruppen von Moden zerlegt und nur gewisse Kopplungen zwischen den Gruppen werden beibehalten. Insbesondere werden alle Selbstwechselwirkungen zwischen den Moden der zweiten Gruppe vernachlässigt, bis auf diejenigen, die zurück an die erste Gruppe koppeln. Wir implementieren verschiedene Varianten quasilinearer Näherungen in DNS der ebenen Couette Strömung und untersuchen diese Modellsysteme unter Gesichtspunkten der Theorie dynamischer Systeme, das heißt, wir studieren den ihnen zugrundeliegenden Zustandsraum. Für die in Strömungsrichtung quasilineare Näherung beschreiben die beiden Gruppen das Strömungsfeld mit bzw. ohne Variation in Strömungsrichtung. In den Gleichungen der zweiten Gruppe werden die Selbstwechselwirkungen zwischen in Strömungsrichtung variierenden Moden vernachlässigt. Ein detaillierter Vergleich der quasilinearen Näherung und des vollen Systems ist möglich für die exakten kohärenten Strukturen, die in der ebenen Couette Strömung existieren. Das Verfolgen bekannter Fixpunkte des vollen nichtlinearen Systems in die quasilineare Näherung liefert qualitativ ähnliche Geschwindigkeitsfelder und mittlere Strömungsprofile. Die Bifurkationsdiagramme der Zustände und insbesondere die Bifurkationspunkte werden durch die Näherung gut erfasst. Zudem konnten wir einer Bifurkationskaskade folgen, die ausgehend von einem Fixpunkt des Systems zur Ausbildung eines lokalen chaotischen Attraktors führt, analog zum vollen nichtlinearen System. Eine interessante Eigenschaft dieser in Strömungsrichtung quasilinearen Näherung ist die Tatsache, dass nur einige wenige Moden zu den quasilinearen Zuständen beitragen. Obwohl die Anzahl aktiver Moden beträchtlich reduziert ist, sind viele Eigenschaften des vollen Systems auch im quasilinearen Modell enthalten. Mit zunehmender Reynoldszahl können über instabile Eigenvektoren und Bifurkationen der Zustände weitere Moden aktiv werden. Wenn die zusätzlichen Moden nacheinander auftauchen, zeigen ihre Amplituden ein intermittentes Verhalten. Mit generalisierten quasilinearen Näherungen können wir systematisch zwischen der in Strömungsrichtung quasilinearen Näherung und dem vollen nichtlinearen System interpolieren, indem wir die Anzahl der Moden in der ersten Gruppe vergrößern. Das führt zu einer quantitativen Verbesserung der Ergebnisse der Näherung im Vergleich zum vollen System, aber die Reduzierung der Anzahl aktiver Moden geht dabei verloren. Die Ergebnisse zeigen, dass diese quasilinearen Näherungen die Untersuchung vereinfachter Modellsysteme ermöglichen, die die Eigenschaften des vollen nichtlinearen Systems besitzen und die direkt und systematisch aus den Navier-Stokes Gleichungen abgeleitet werden.


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