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Titel: Quandles and Hurwitz Orbits
Autor: Rehman, Naqeeb ur
Weitere Beteiligte: Heckenberger, I. (Prof. Dr.)
Erscheinungsjahr: 2016
URI: https://archiv.ub.uni-marburg.de/diss/z2016/0652
DOI: https://doi.org/10.17192/z2016.0652
URN: urn:nbn:de:hebis:04-z2016-06528
DDC: 510 Mathematik
Titel(trans.): Quandles und Hurwitz-Bahnen

Dokument

Schlagwörter:
Racks, Quandles, Hurwitz-Bahnen, Racks, Quandles, Hurwitz Orbits

Summary:
In this thesis we study quandles and Hurwitz orbits. A quandle is a self-distributive algebraic structure whose binary operation is like the conjugation in a group. The algebraic structure of quandles can be studied as sequences of permutations. The cycle structure of the permutations of an indecomposable quandle is well-behaved because the permutations of an indecomposable quandle are mutually conjugate and hence have the same cycle structure. We study the cycle structure of quandles with the main focus on a conjecture in [18] saying that any permutation of an indecomposable quandle has cycles whose cycle lengths divide the largest among them. Hurwitz orbits are the orbits of a braid group action on the powers of a quandle. The Hurwitz orbits for the action of the braid group on three strands are used in [21] and [22] for the classiVcation of certain Hopf algebras. This classiVcation is based on a combinatorial invariant called a plague on the Hurwitz orbits. The immunity on a Hurwitz orbit is the quotient of the size of the minimal plague and the size of the Hurwitz orbit. An estimation on the immunity of the Hurwitz orbits is provided in [22] by using Schreier graphs of the Hurwitz orbit quotients and the weights on the Hurwitz orbits, where the weight on an Hurwitz orbit is deVned by the cycle structure of that Hurwitz obit. In this study only few Schreier graphs of the Hurwitz orbit quotients with small cycles are considered. We introduce a new method to calculate plagues on the Hurwitz orbits for inVnitely many Schreier graphs of the Hurwitz orbit quotients with all cycles. Our method is based on the posets of robust subgraphs of pointed Schreier graphs of the Hurwitz orbit quotients. By using this method we estimate the immunity on the Hurwitz orbits through a case-by-case analysis of inVnitely many pointed Schreier graphs of the Hurwitz orbit quotients.

Zusammenfassung:
In dieser Arbeit untersuchen wir Quandles und Hurwitz-Bahnen. Quandles sind selbst distributive algebraische Strukturen mit drei Axiomen, die mit drei Reidemeister- Bewegungen von Knotendiagrammen verwandt sind. Racks sind eine Verallgemeinerung von Quandles. Die Verknüpfung eines Quandles ist wie die Konjugation in einer Gruppe. Die algebraische Struktur von Quandles kann als Folgen von Permutationen untersucht werden. Die Zykel-Struktur der Permutationen eines unzerlegbaren Racks (bzw. Quan- dles) verhält sich gut, weil die Permutationen eines unzerlegbaren Racks (bzw. Quan- dles) zueinander konjugiert sind und daher die gleiche Zykel-Struktur haben. In [18], beobachtet C. Hayashi eine weitere interessante Eigenschaft der Zykel-Struktur eines unzerlegbaren Quandles und vermutet, dass die Permutation eines unzerlegbaren Quan- dles Zykel hat, deren Zykellängen die größte unter ihnen teilen. In Kapitel 1 dieser Arbeit untersuchen wir die Zykel-Struktur von Quandles mit dem Schwerpunkt auf der Vermutung von Hayashi. In Abschnitt 1.4.7 diskutieren wir die Klassen unzerlegbarer Quandles, für die die Vermutung von Hayashi wahr ist. In Abschnitt 1.4.2 geben wir Einschränkungen für die Zykel-Struktur bestimmter unzerlegbarer Quandles, die zu den wichtigsten Ergebnissen dieser Arbeit gehören. Racks und dieWirkung der Zopfgruppe auf den Potenzen von Racks sind für die Klas- siVzierung bestimmter Hopfalgebren nützlich (siehe [2], [3] [15], [21], [22]). Hurwitz- Bahnen sind die Bahnen einer Wirkung der Zopfgruppe auf der Potenz eines Racks. Die Hurwitz–Bahnen für die Wirkung der Zopfgruppe auf drei Strängen werden in [21] und [22] für die KlassiVzierung bestimmter Hopfalgebren verwendet. Diese KlassiVzierung basiert auf einer kombinatorischen Invarianten der Hurwitz-Bahnen, die Plage genannt wird. Die Immunität einer Hurwitz-Bahn ist der Quotient aus der Größe der minimalen Plage und der Größe der Hurwitz-Bahn. Eine Abschätzung über die Immunität der Hurwitz-Bahnen wird in [22] gegeben mit Hilfe von markierten Schreier-Graphen der Hurwitz-Bahn-Quotienten und den Gewichten der Hurwitz-Bahnen, wobei das Gewicht einer Hurwitz-Bahn durch ihre Zykel-Struktur deVniert ist. In Kapitel 2 erinnern wir an die Ergebnisse zu Hurwitz-Bahnen und das Verfahren zur Abschätzung der Immu- nität der Hurwitz-Bahnen aus [15], [21] und [22]. Man beachte, dass in [22] nur wenige Schreier-Graphen mit kleinen Zykeln betrachtet werden, für die gezeigt wird, dass die Immunität der Hurwitz-Bahnen nach oben durch ihre Gewichte beschränkt ist. In Kapitel 3 stellen wir eine neue Methode vor, um die Plage einer Hurwitz-Bahn zu berechen und die Immunität einer Hurwitz-Bahn abzuschätzen. Mit dieser Meth- ode kann man unendlich viele Schreier-Graphen der Hurwitz-Bahn-Quotienten mit alle Zyklen studieren. UnsereMethode basiert auf den posets bestimmter Teilgraphen, genannt robuste Subgraphen, von punktierten Schreier-Graphen der Hurwitz-Bahn-Quotienten. Wir schätzen die Immunität der Hurwitz-Bahnen durch eine Fall-zu-Fall-Analyse von punktierten Schreier-Graphen der Hurwitz-Bahn-Quotienten. Mit dieser Analyse betrachten wir die Schreier-Graphen der Hurwitz-Bahn-Quotienten, für die die Immunität der Hurwitz-Bahn von oben durch ein Viertel beschränkt ist. Alle in Kapitel 1 und Kapi- tel 3 bewiesenen Resultate werden vom Autor als originell behauptet.


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