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Summary:
The notions of stability of holomorphic vector bundles in the sense of Mumford-Takemoto and Hermitian-Einstein metrics in holomorphic vector bundles are adapted for canonically polarized framed manifolds, i. e. compact complex manifolds together with a smooth divisor admitting a certain projective embedding. The main tool is the Poincaré metric, a special complete Kähler-Einstein metric on the complement of the divisor, whose asymptotic behaviour near the divisor is well-known due to results by Schumacher. The existence and uniqueness of Hermitian-Einstein connections in stable holomorphic vector bundles (Kobayashi-Hitchin correspondence) is proved in the setting of framed manifolds.

Bibliographie / References

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12. erfüllt, wobei π * den zu π adjungierten Endomorphismus bzgl. einer hermiteschen Metrik in E und den (0, 1)-Anteil des zugehörigen Chern-Zusammenhangs bezeichnen. In ihrer Arbeit [UY86] zeigen Uhlenbeck und Yau, dass ein solcher Schnitt in Wirklichkeit eine kohärente Un- tergarbe von E und implizit ein holomorphes Unterbündel von E außerhalb einer analytischen Teilmenge von X der Kodimension 2 definiert. Popovici gibt in [Po05] einen alternativen Beweis dieser Aussage, der auf der Theorie der Ströme basiert. In unserer Situation erfüllt der Schnitt π aus Simpsons Beweis die L 2 -Bedingungen bzgl. der Poincaré-Metrik. Mit Hilfe der Resultate aus Proposition A.4 können wir zeigen, dass diese bereits die L 2 -Bedingungen im gewöhnlichen Sinn implizieren. Folglich kann der Satz von Uhlenbeck-Yau-Popovici ohne Veränderung auf unsere Situation angewandt werden. Wir möchten anmerken, dass " asymptotische " Versionen unseres Resultats von Ni und Ren in [NR01] sowie von Xi in [Xi05] erzielt wurden. Hier betrachten die Autoren bestimmte Klas- sen vollständiger, nicht-kompakter hermitescher Mannigfaltigkeiten (X, g). Um in der Lage zu A Deutsche Zusammenfassung sein, die Existenz einer Hermite-Einstein-Metrik in einem holomorphen Vektorbündel auf X zu beweisen, nehmen sie nicht die Stabilität des Bündels an. Stattdessen verlangen sie die Existenz einer hermiteschen Metrik h 0 in E, die asymptotisch Hermite-Einstein ist, wobei es sich um eine Bedingung an das Wachstum von | √ −1Λ g F h 0 − λ h 0 id E | h 0 handelt.
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15. Außerdem geht mein Dank an die Mitglieder des Fachbereichs Mathematik und Informatik, insbesondere die Teilnehmer des Oberseminars " Komplexe Geometrie " , für die angenehme Ar- beitsatmosphäre.
16. Besondere Aufmerksamkeit müssen wir der Frage widmen, was wir unter einer Hermite- Einstein-Metrik im gerahmten Sinn oder gerahmten Hermite-Einstein-Metrik verstehen wollen.
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20. Wir interessieren uns für hermitesche Metriken in E , die die Hermite-Einstein-Bedingung bzgl. der Poincaré-Metrik erfüllen. Ein Blick auf den Beweis der Eindeutigkeit (bis auf ein konstantes Vielfaches) einer solchen Hermite-Einstein-Metrik zeigt aber, dass diese Bedingung nicht aus- reicht, um einen sinnvollen Begriff einer gerahmten Hermite-Einstein-Metrik zu erhalten. In der Tat benutzt der klassische Eindeutigkeitsbeweis die Einfachheit eines stabilen Vektorbündels.
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22. Metrik. Es besteht nur ein kritischer Punkt bei der Anwendung von Simpsons Methode auf unsere Situation, nämlich die Konstruktion einer destabilisierenden Untergarbe von E = O X (E) für den Fall, dass die Lösung nicht konvergiert. Man erhält zunächst ein sogenanntes schwach holomorphes Unterbündel von E (oder E ), d. h. einen messbaren Schnitt π von End(E), der im Sobolev-Raum der L 2 -Schnitte liegt, die schwache Ableitungen erster Ordnung in L 2 besitzen, und zusätzlich die Bedingungen π = π * = π 2 und (id E −π) @BULLET π = 0
23. Kapitel 3 ist der zentrale Teil dieser Arbeit. Nachdem wir einen kurzenkurzen¨ kurzen¨Uberblickkurzen¨Uberblick¨kurzen¨Uberblicküber die Konzepte der Stabilität und der Hermite-Einstein-Metriken im kompakten Fall gegeben haben, entwickeln wir die entsprechenden Begriffe in der gerahmten Situation. Insbesondere zeigen wir, dass die beiden oben erwähnten Ansätze zur gerahmten StabilitätStabilitätäquivalent sind. Außerdem zei- gen wir die Eindeutigkeit (bis auf ein konstantes Vielfaches) einer gerahmten Hermite-Einstein- Metrik in einem einfachen Bündel. Kapitel 4 enthält das Existenzresultat für gerahmte Hermite-Einstein-Metriken in einem ho- lomorphen Vektorbündel auf einer kanonisch polarisierten gerahmten Mannigfaltigkeit, das im gerahmten Sinn stabil ist. Hier geben wir eine Zusammenfassung von Donaldsons Existenzbe- weis für eine Lösung der Evolutionsgleichung, die für alle endlichen nicht-negativen Werte des Zeitparameters definiert ist, sowie eineneinen¨ einen¨Uberblickeinen¨Uberblick¨einen¨Uberblicküber Simpsons Ansatz zur Konvergenz dieser Lösung in unendlicher Zeit. Außerdem fassen wir Popovicis Beweis des Regularitätssatzes für schwach holomorphe Unterbündel zusammen, der wegen des ResultatsResultats¨Resultatsüber die Quadratinte- grierbarkeitsbedingungen aus Kapitel 2 auf unsere Situation angewandt werden kann. Schließlich skizzieren wir in Kapitel 5 einige weitere Gedanken, die auf den Resultaten dieser Arbeit basieren. Ausgehend von der Arbeit [TY87] von Tian und Yau könnte man vermuten, dass die in Kapitel 4 erhaltene gerahmte Hermite-Einstein-Metrik auch als Grenzwert einer Folge von Hermite-Einstein-Metriken auf X bzgl. gewisser von Tian und Yau konstruierter unvollständiger Kähler-Einstein-Metriken angesehen werden kann. Dieses Problem ist aber noch offen.
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28. Da die gerahmte Stabilität von E aber nur die Einfachheit von E und nicht die von E impli- ziert, gibt uns dies noch nicht die Eindeutigkeit einer beliebigen Hermite-Einstein-Metrik in E bzgl. der Poincaré-Metrik. Stattdessen verlangen wir zusätzlich eine Bedingung der Kompatibi- lität mit einer glatten hermiteschen Metrik in E ¨ uber der kompakten Mannigfaltigkeit X. Dabei handelt es sich um die von Simpson in [Si88] eingeführte Bedingung. TatsächlichTatsächlichähnelt sie der oben erwähnten Bedingung der Kompatibilität mit der parabolischen Struktur. Wir zeigen, dass jedes holomorphe Vektorbündel auf einer kanonisch polarisierten gerahm- ten Mannigfaltigkeit, das im gerahmten Sinn stabil ist, eine (bis auf ein konstantes Vielfaches) eindeutig bestimmte gerahmte Hermite-Einstein-Metrik besitzt. Unsere Methoden sind die Fol- genden. Das oben erwähnte Konzept der beschränkten Geometrie erlaubt es uns, Simpsons Methode der Wärmeleitungsgleichung aus [Si88] (die dort unter anderem im kompakten Fall behandelt wird) auf unsere Situation anzuwenden, solange alle analytischen Betrachtungen in Quasi-Koordinaten ausgedrückt werden. Simpson löst wie Donaldson eine Evolutionsgleichung vom Wärmeleitungstyp für alle nicht-negativen Werte eines reellen Parameters t. Konvergiert die Lösung für t gegen unendlich, so liefert der Grenzwert die gewünschte Hermite-Einstein-
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32. Der Inhalt dieser Arbeit ist wie folgt organisiert. Kapitel 1 beinhaltet eine Einführung in das Thema der Arbeit. Hierbei handelt es sich im Wesentlichen um eine englische Version der vorliegenden Zusammenfassung. In Kapitel 2 definieren wir den Begriff der Kähler-Metrik auf X mit Wachstum vom Poincaré- Typ in der Nähe des Divisors D und präsentieren die Konstruktion einer solchen Metrik nach Griffiths. Nach einer Einführung in das Konzept der Quasi-Koordinaten und der beschränk- ten Geometrie nach R. Kobayashi stellen wir einen Beweis der Existenz und Eindeutigkeit (bis auf ein konstantes Vielfaches) einer vollständigen Kähler-Einstein-Metrik auf X mit negativer Ricci-Krümmung vor. Diese Metrik hat ebenfalls Poincaré-Wachstum und wird später als die Poincaré-Metrik bezeichnet werden. Schließlich zeigen wir, dass die Quadratintegrierbarkeitsbe- dingungen für Funktionen und 1-Formen bzgl. der Poincaré-Metrik diejenigen im gewöhnlichen Sinn implizieren.
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