Kurzfassung in Englisch:
Solid particles, suspended in a fluid and subject to an external force, such as gravity, settle if the density of the particles is higher than the density of the fluid. This process, which separates fluid and particles, is called sedimentation. It is important for a variety of processes in nature and industry. While naturally occuring particles come in a variety of shapes with smooth and rough surfaces, many of the fundamental issues of the sedimentation process can be studied with spherical particles. Experimentally, this situation can be realized, for instance, for glass beads which settle in a vessel. For these systems, theoretical predictions and experiments agree about the average settling rate of the particles, which depends on the concentration of the particles in the fluid. In contrast, there is much controversy about the fluctuations of the particle velocities. Available theories assume that the flow past a particle obeys the steady Stokes equation, i.e. the flow is proportional to the instantaneous particle velocity and decays as $1/$distance from the particle. Caflisch and Luke (Phys. Fluids, 28:759, 1985) pointed out that due to these long-range hydrodynamic interactions, the fluctuations diverge for a homogeneous distribution of particles: At a distance $r$ from a particle, the fluctuations of the flow produced by that particle decay as the velocity squared, i.e. as $1/r^2$. Since a spherical shell at distance $r$ and of width $dr$ contains $r^2 dr$ particles, all shells contribute equally to the fluctuations and the integral over all shells diverges with the volume of the vessel. While numerical simulations confirm the divergence, it is in marked contrast to experiments, which show that the flow is correlated on a finite length and that correlation length and fluctuations are finite and independent of the vessel size. To uncover the discrepancy between simulations and experiments, a number of theoretical studies have looked at effects of the wall, vertical stratification of the sediment or particle concentration fluctuations. However, no conclusive explanation of the discrepancies has emerged. All theories and simulations for sedimentation above assume that the flow past the particles is steady Stokes flow. This assumption is believed to be fairly robust. In this work, the assumption is dropped and the flow is assumed to be unsteady Stokes flow, i.e. the temporal evolution of the velocity field is taken into account. How does unsteady Stokes flow differ from steady Stokes flow? The differences between steady and unsteady flow are known since the equations were formulated. In his seminal 1851 article, which is most of all famous for the equations which describe the steady flow around a steadily moving sphere, Stokes also provided the equations for the time-dependent flow past a sphere whose center of mass is in oscillatory motion. However, the consequences of the differences between the two cases and in particular their implications for sediment fluctuations have not been studied. As we show here, taking the time-dependence into account goes a long way towards resolving many of the puzzles. In order to see the effects of a time-dependent solution rather more clearly and not clouded by technicalities, we consider the situation of diffusional spreading from localized, sat fluctuating sources. For a homogeneous distribution of sources it is shown that the fluctuations of the concentration field are finite if the full time-dependent equation is used for the concentration field. In contrast, if the concentration field is approximated by the quasisteady concentration field, the fluctuations diverge. The concentration field model suggests new experiments to check time-dependence effects. Moreover, we show that the velocity fluctuations of a particle suspension are finite if the flow around the particles is described by the time-dependent Stokes equation. The fluctuations are regularized essentially due to a cut-off of the steady Stokes flow velocity field. Taking this cut-off into account, the velocity fluctuations for a particle suspension is found in agreement with experimental measurements. Time-dependence of Stokes flow is shown to be important for the dynamics of a particle suspension. This thesis initiates further investigations on particle suspensions and related problems, which take into account time-dependent Stokes flow.

Kurzfassung in Englisch:
Sedimentation bezeichnet die Ablagerung von Teilchen in einer Flüssigkeit unter dem Einfluss einer äußeren Kraft, wie etwa der Schwerkraft oder der Zentrifugalkraft. Sedimentation spielt in einer Vielzahl von natürlichen und industriellen Prozessen eine wesentliche Rolle. Oberflächenstruktur und Teilchengröße sind dabei für die jeweiligen Prozesse sehr verschieden. Wesentliche Eigenschaften der Sedimentation sind jedoch von der Teilchenbeschaffenheit unabhängig. Zur Untersuchung dieser wird in der experimentellen Physik überwiegend die Sedimentation von Glaskugeln in einem Behälter studiert. Experimentelle Messungen zeigen, dass die Sinkgeschwindigkeit von der Teilchenkonzentration abhängt. Diese Messungen können sehr gut theoretisch beschrieben werden. Im Gegensatz dazu stehen experimentelle Messungen der Geschwindigkeitsfluktuationen im krassen Widerspruch zu theoretischen Vorhersagen und numerischen Simulationen. Basierend auf der zeitunabhängigen Stokesgleichung haben Caflisch und Luke (Phys. Fluids, 28:759, 1985) theoretisch gezeigt, dass die Geschwindigkeitsfluktuationen einer Teilchensuspension bei homogener Verteilung der Teilchen proportional zur Größe des Behälters ist: Die Strömung, welche durch ein Teilchen erzeugt wird, fällt antiproportional zum Abstand vom Teilchen ab. Bei einer homogenen Teilchenverteilung befinden sich in einer Kugelschale mit Dicke $dr$ im Abstand $r$ von einem vorgegebenen Punkt $r^2 dr$ Teilchen. Die Geschwindigkeitsfluktuation am vorgegeben Punkt ist proportional zum Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit, also proportional zu $1/r^2$. Damit trägt jede Kugelschale unabhängig vom Abstand zur Fluktuation bei. Das Integral über alle Kugelschalen führt dazu, dass die Fluktuation der Geschwindigkeit am vorgegeben Punkt divergiert, beziehungsweise linear von der Größe des Behälters abhängt. Die Abhängigkeit der Geschwindigkeitsfluktuationen von der Behältergröße wird durch numerische Simulationen bestätigt. Entgegen der theoretischen Vorhersage wird im Experiment keine solche Divergenz beobachtet. Experimente zeigen, dass die Fluktuationen unabhängig von der Behältergröße sind und im Wesentlichen durch den gegenseitigen Abstand der Teilchen bestimmt werden. Umfassende theoretische Untersuchungen haben, um eine Erklärung der Diskrepanz bemüht, den Einfluß der Behälterwand und Inhomogenitäten der Teilchenkonzentration untersucht. Die Diskrepanz ist dennoch nicht geklärt. Sämtliche theoretische und numerische Untersuchungen beschreiben die Strömung zwischen den Teilchen durch die zeitunabhängige Stokesgleichung. In dieser Arbeit wird untersucht, was sich ändert, wenn man diese Vereinfachung aufgibt und die Strömung zwischen den Teilchen durch die zeitabhängige Stokesgleichung beschreibt, wenn man also die interne zeitliche Entwicklung des Strömungsfeldes mit einbezieht. Nach einer Untersuchung der Eigenschaften zeitabhängiger Stokesströmung wird in Kapitel 4 auf das Problem der divergenten Geschwindigkeitsfluktuationen bei der Sedimentation eingegangen. Die Regularisierung der Fluktuationen wird an einem verwandten Problem transparenter. Die Fluktuationen des Konzentrationsfeldes, welches von einer homogenen Verteilung von Quellen erzeugt wird, werden untersucht. Wenn sich der Beitrag einer Quelle zum Konzentrationsfeld instantan der Quelle anpasst, erhält man, ähnlich zur zeitunabhängigen Stokesströmung um eine Kugel, einen Abfall des Konzentrationsfeldes mit dem Abstand $r$ wie $1/r$. Die Fluktuationen des Konzentrationsfeldes fallen ab wie $1/r^2$. Die Integration über die homogene Verteilung führt auf das Ergebnis von Caflisch und Luke. Wenn man hingegen die vollständige Lösung des Konzentrationsfeldes in Betracht zieht, dann sind die Fluktuationen regulär. Dies rührt daher, dass aufgrund der endlichen Reichweite der Diffusion die Fluktuationen des Konzentrationsfeldes ab einem endlichen Abstand wesentlich stärker abfallen als $1/r^2$. Die Argumentation für Teilchensuspensionen erfolgt analog. Man stellt fest, dass die Fluktuationen in der zeitabhängigen Beschreibung endlich sind. Diese Arbeit zeigt, dass die zeitabhängige Behandlung der Strömung eine wesentliche Rolle für die Sedimentation von Teilchen spielt, und legt die Grundlagen für nachfolgende Untersuchungen.

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